在当代语境里，简单粗暴一点说：
1）戏，是指通过各种舞台呈现方式所表现出来的内容和情感；
2）剧，是指这些内容和情感试图揭示给观众的情节和内涵。
所以“戏剧”的意思就是：用舞台呈现方式来让观众了解情节，感受内涵。
戏剧本身是一个艺术门类，一般指舞台表演的艺术，包含很多子门类，古今中外，京剧，昆曲，话剧，芭蕾舞剧，歌剧都是戏剧的种类。
学术的解释和分类不说了，既然题主把戏和剧分开来问了.
戏和剧还有戏剧的分别，除了概念上的以外，还有一些语气用法上的分别。
在我们日常的语汇中，说到戏剧的这些门类，我们很少直接说“戏剧”这个词，一般都是拆开用，某某戏，某某剧，而不是某某戏剧。楼主的观察很细致。但这些某某戏和某某剧区别在哪里呢？
首先有的戏剧门类，专门带“戏”，比如，黄梅戏，评戏。日常生活中我们不会说黄梅剧吧，反正至少我和我身边的人都不这么说。而如果你查一下黄梅戏，评戏这两个，你会发现这两个剧种出现的都比较晚，历史比较短，且都比较通俗浅白，不属于阳春白雪的范畴。
有人说，黄梅戏这些，之所以叫“戏”，因为他是中国戏曲，是东方艺术，是载歌载舞，和西方的话剧是不同的，所以我们这边更多叫戏。这个事有道理的，话剧和戏曲是不同的东西我承认。
但是我们来看看“京剧”这个门类。这东西过去人其实也叫京戏，清末民国的时候，它也不是那么阳春白雪的东西，听京戏的老百姓大有人在，学京戏的也都是些穷苦人家的孩子。但是自从它成了国粹，自从它成了高端货，自从它的行头上千上万，也就少有人叫京戏，大家都改口叫京剧了。
如果再往深看一下，有一些非戏剧门类里的人类活动，也带了“戏”，比如游戏，猴戏，戏耍，还有看热闹的时候，我们会说，嘿，有好戏看了。
我们再从反面看看，带“剧”的都是些什么呢，歌剧舞剧音乐剧，我们谁也不会说音乐戏对吧，那多土。歌剧，舞剧，音乐剧，都是外来货，高洋上，具有一种历史悠久，观看正式的感觉，虽然也不一定。
而且“剧”这个词，也很少被用到非戏剧门类里，剧耍？游剧？都不是。看热闹的时候，我们也从不会说，嘿，打起来了，有好剧看了！
还有，同为东方戏剧，载歌载舞的印度梵剧，日本能剧，为啥不翻译成“能戏”呢？我想因为这东西流入中国比较晚，至少是清末打开国门以后。那个时候我们看外国的东西，总归是有种高洋上的感觉，要是翻译成戏，岂不是和我们下里巴人的一样了？
由此我们是否可以（不负责任地）推断一下，在现当代汉语里，戏这个词，本身带有一种非正式性的情感语境在里面，有点不够级别的感觉。而剧呢，则带有一种书面语的，正式的，高端大气的情感语境。
说到戏的，总是一些比较口语化的状况，比如我跟自己的演员就会说，赶紧排戏啦。但是如果去拉赞助，就会说，我们这个剧呢，现在还在筹备阶段巴拉巴拉。虽然同为一个词里面的两个字，用起来还是略有不同。
而如果两个字连起来用，也就是“戏剧”同时出现，就有一种更正式，更规范的感觉了，因为它已经上升到一个学科了
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